47 Combinatoria: Variaciones
47 Combinatoria: Variaciones
1.- Variaciones
Se denominan variaciones al número de grupos diferentes de “n” elementos
que se pueden formar a partir de un grupo inicial de “m” elementos.
Una nota característica de las variaciones es que el orden importa.
Por ejemplo, si a partir de las 5 vocales formamos grupos de 3 vocales, el
grupo “A – E – I” es diferente del grupo “A – I – E” ya que el orden de las vocales es
diferente.
Dentro
de las variaciones distinguimos:
a) Variaciones sin repetición
En las variaciones sin repetición, también denominadas variaciones
ordinarias, ningún elemento del grupo inicial se puede repetir.
Por ejemplo, si a partir de las 5
vocales formamos grupos de 3 vocales, el grupo “A – A – I” no valdría ya que se
repite la vocal “A”.
En las variaciones sin repetición se tiene que cumplir que n <= m.
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Es decir, con las 5 vocales (m) no podemos formar grupos de 6 vocales (n)
ya que al menos una se tendría que repetir.
Las variaciones sin repetición se representan por
o también por
Por ejemplo: Tenemos las 5 vocales y quiero ver cuantos grupos de 3 vocales
podemos formar:
A – E – I
E – O - U
I – U – A
Para calcular el número de grupos que se puede formar se aplica la fórmula.
Siendo:
m : número total de elementos
n : tamaño de los grupos
En el ejemplo anterior la fórmula aplicada sería:
Se podrían formar hasta 60 grupos diferentes de 3 vocales.
Las variaciones sin repetición también se pueden calcular utilizando
factoriales.
El factorial de un número “n” se representa por n! y se calcula:
n! = n * (n-1) * (n-2) * …* 3 * 2 * 1
Veamos un ejemplo:
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
Las variaciones sin repetición utilizando factoriales se calculan:
En nuestro ejemplo sería:
Veamos otros
ejemplos:
En una clase de 20 alumnos se organiza un
campeonato de ajedrez y se premia a los 5 primeros; ¿Cuántos resultados diferentes
pueden darse?
En este ejemplo el orden importa: no es lo
mismo quedar 1º que 3º.
En un club se celebran elecciones para elegir presidente, 1er vocal y 2
vocal entre 40 candidatos; ¿Cuántos resultados diferentes pueden darse?
En una carrera de caballos con 15
participantes haces una apuesta triple (acertar caballo ganador, 2º y 3er
clasificado); ¿Cuántos resultados diferentes pueden darse?
b) Variaciones con repetición
En las variaciones con sí se puede repetir una o varias veces un mismo
elemento.
Por ejemplo, si a partir de las 5 vocales formamos grupos de 3 vocales, el grupo “A –
A – I” sí valdría.
E grupo “A – A – A” también valdría.
En las variaciones con repetición es posible que n > m.
Es decir, con las 5 vocales (m) podemos
formar grupos de 8 vocales (n):
“A – E – A – I – O – E – U - A”
Las variaciones con repetición se representan por
El orden sigue siendo relevante:
A – A – I
A – I - A
Cuentan como 2 grupos diferentes.
Para calcular el número de grupos que se
pueden formar se aplica la fórmula.
Siendo:
m : número total de elementos
n : tamaño de los grupos
En el ejemplo de cuantos grupos de 3
vocales se pueden formar con las 5 vocales el resultado sería:
Veamos algunos
ejemplos:
En una quiniela de 14 apuestas (1 = gana; X = empata; 2 = pierde) cuantos
resultados diferentes pueden darse.
Aplicamos la fórmula de variaciones con
repetición ya que las 3 opciones (1 – X – 2) se pueden repetir hasta 14 veces.
m = 3 (1 – X – 2)
n = 14 (cada quiniela tiene 14 partidos)
En una bolsa hay 5 números (del 1 al 5) y hacemos 6 extracciones (cada vez
que sacamos un número lo volvemos a meter en la bolsa por lo que se puede
repetir); ¿Cuántos resultados pueden darse?
m = 5 (números del 1 al 5)
n = 6 (cada resultado está formado por 6
extracciones)
En una clase de 20 alumnos se entregan 3 premios (música, deporte y arte);
un mismo alumno puede repetir premio. ¿Cuantos posibles resultados pueden
darse?
m = 20 (nº de alumnos de la clase)
n = 3 (cada posible resultado está formado
por 3 premiados)
¿Cuántos números diferentes se pueden formar con las 10 cifras (del 0 al 9)
agrupadas de 4 en 4, pudiéndose repetir las cifras.
m = 10 (nº de cifras diferentes)
n = 4 (los números que queremos formar
tienen 4 cifras)
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