28 Números racionales

28 Números racionales

1.- Número racional

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros.

2/6

-5/8

El número racional se puede presentar de 2 formas: como fracción o por el valor numérico de la fracción (resultado de dividir el numerador por el denominador).

Los números racionales anteriores serían:

0,333

  0,7272

-0,625

El conjunto de los números racionales se representa con la letra “Q”.

Distintas fracciones pueden tener el mismo valor numérico:

2/10 = 0,2

3/15 = 0,2

-1/-5 = 0,2

-2/-10 = 0,2

-3/-15 = 0,2

…

Se dice que estas fracciones son equivalentes y por lo tanto equivalen al mismo número racional.

Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico.

Veamos un ejemplo:

9 / 3 su valor numérico es 9 : 3 = 3

21 / 7 su valor numérico es 21 : 7 = 3

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Luego ambas fracciones son equivalentes.

 

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes: se multiplican en cruz (el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda). Si ambos resultados son iguales las 2 fracciones son equivalentes.

Vamos a comprobarlo con el ejemplo anterior: 9 / 3 y 21 / 7

9 x 7 = 63

3 x 21 = 63

Para calcular una fracción equivalente a una dada hay que multiplicar (o dividir) los 2 miembros de la fracción por el mismo número.

Cuando se multiplica la fracción por un número se dice que estamos ampliando la fracción. Cuando se divide la fracción por un número se dice que estamos simplificando la fracción.

Ejemplo:

4 / 10

Multiplicamos ambos miembros por 6:

24 / 60

Comprobamos que ambas fracciones son equivalentes aplicando la regla anterior:

4 x 60 = 240

10 x 24 = 240

Veamos otro ejemplo de cálculo de fracción equivalente pero en este caso simplificando la fracción.

44 / 24

Dividimos ambos miembros por 2:

44 : 2 = 22

24 : 2 = 12

Volvemos a dividir por 2:

22 : 2 = 11

12 : 2 = 6

La fracción equivalente: 11 / 6

La fracción ya no se puede reducir más (numerador y denominador ya no tienen más divisores comunes), decimos que esta fracción ya es irreductible.

El número racional es aquel que se puede representar como una fracción irreducible (que no se puede simplificar) donde tanto el numerador como el denominador son números enteros.

Los números enteros forman parte de los números racionales ya que todos ellos se pueden representar como una fracción cuyo numerador es el número entero y su denominador es 1.

2 = 2 / 1

-7 = -7 / 1

12 = 12 / 1

El conjunto de los números racionales incluye al conjunto de los números enteros, además de a otros números que no son enteros.

Entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales, por lo tanto nunca se podrá decir que dos números racionales son consecutivos

Ejemplo:

0,23 y 0,24

Entre estos 2 números se encuentran:

0,2301

0,235

0,23699

0,23901….

Esto les diferencia de los números naturales y enteros donde sí hay números consecutivos:

Por ejemplo, los números enteros -3, -2, -1, 0, 1, 2…. son números consecutivos.

 

2.- Valor numérico de una fracción

El valor numérico de una fracción se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, y puede ser:

1.- Un número entero (por ejemplo: 4/2 = 2)

2.- Una expresión decimal.

 

La expresión decimal puede ser:

a) Un número decimal: tiene un número limitado de cifras decimales.

Por ejemplo: 17/4 = 4,25

b) Un número periódico puro: tiene un número infinito de cifras decimales pero se van repitiendo siguiendo un patrón que se denomina periodo.

Por ejemplo:

16/3 = 5,3333…. (el periodo es 3)

322/99 = 3,25252525… (el periodo es 25)

c) Un número periódico mixto: tiene un número infinito de cifras decimales; a partir de cierta cifra decimal éstas comienzan a repetirse siguiendo un patrón que se denomina periodo. La parte decimal que no forma parte del periodo se denomina anteperiodo.

Por ejemplo:

1,9833333…. : anteperiodo (98), periodo (3)

4,5823232323… : anteperiodo (58), periodo (33)

 

3.- Fracción: número decimal, periódico puro o periódico mixto

Para ver cuando el valor de una fracción es un número decimal, un número periódico puro o un número periódico mixto, se descompone el denominador de la fracción en producto de números primos.

1.- Si los números primos son, 2, 5 o ambos, se trata de un número decimal.

Ejemplo:

3/40

Descomponemos el denominador:

40 = 2 x 2 x 5

El valor numérico de esta fracción es:

3 : 40 = 0,075

 

2.- Si los números primos son distintos del 2 y del 5, se trata de un número periódico puro.

4/21

Descomponemos el denominador:

21 = 3 x 7

El valor numérico de esta fracción es:

4 : 21 = 0,190476190476.. (señalamos en rojo el periodo)

 

3.- Si los números primos, además del 2 o del 5, hay otros diferentes, se trata de un número periódico mixto.

5/6

Descomponemos el denominador:

6 = 2 x 3

El valor numérico de esta fracción es: 5 : 6 = 0,83333..

 

4.- Fracciones generatrices

Cualquier número decimal o periódico, puro o mixto, se puede generar con una fracción.

1.- Número decimal: la fracción tendrá por numerador el número decimal (parte entera y decimal) sin coma, y como denominador un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

3,456 = 3456 / 1000

 

2.- Número periódico puro: la fracción tendrá por numerador el número decimal (parte entera y periodo) sin coma menos la parte entera, y como denominador una cifra con tantos 9 como cifras diferentes tenga el periodo.

3,232323… = (323 – 3) / 99 = 320 / 99

 

3.- Número periódico mixto: la fracción tendrá por numerador el número decimal (parte entera, anteperiodo y periodo) sin coma menos la parte entera seguida del anteperiodo, y como denominador una cifra con tantos 9 como cifras diferentes tenga el periodo, seguido de tantos 0 como cifras diferentes tenga el anteperiodo.

5,17545454… = (51754 – 517) / 9900 = 51237 / 9900