34 Medición del error en la aproximación

34 Medición del error en la aproximación

El error que se comete se puede valorar bien en su valor absoluto, es decir cuál es la magnitud real del mismo, o también en términos relativos, es decir cuál es su magnitud proporcional.

a) Medición en términos absolutos

La aproximación que se realiza de las cifras decimales nos lleva a cometer a veces un error por defecto (nos quedamos con un número menor que el real):

Simplificamos 4,23 por 4,2

Otras veces cometemos un error por exceso:

Simplificamos 4,28 por 4,3

Por lo tanto el error cometido a veces es negativo y otras veces positivo. Para medir en términos absolutos este error restamos el número real y el número aproximado. Como nos interesa el valor absoluto de esta diferencia prescindimos de su signo.

En el primer ejemplo: |4,23 – 4,2|= 0,03

En el segundo ejemplo: |4,28 – 4,3|= 0,02

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Cuando realizamos la aproximación de un número con infinitas cifras decimales (por ej.: 4,3333… lo aproximamos a 4,3) no podemos medir con exactitud cuál es el error absoluto cometido (|4,3333… – 4,3|). En este caso lo que hacemos es acotar el error, es decir, calcular el límite máximo del error cometido.

|4,3333… – 4,3|= 0,0333… < 0,0334

Este límite máximo del error cometido lo podemos fijar con distinto nivel de precisión:

|4,3333… – 4,3|= 0,0333… < 0,04

|4,3333… – 4,3|= 0,0333… < 0,034

|4,3333… – 4,3|= 0,0333… < 0,0334

 

 

b) Medición en términos porcentuales

Esta medición del error nos permite relacionar la magnitud del error con la medición realizada. No es lo mimo cometer un error de 0,05 en una medición de 0,14 que en una medición de 1.886,45 ya que en el primer caso puede ser un error muy significativo y en el segundo caso puede ser despreciable.

Para disponer de esta información y poder valorar la importancia del error dividimos el error cometido entre el valor real.

Error relativo = error absoluto / valor real

El error relativo se suele presentar en forma de porcentaje.

En el primer ejemplo anterior: 0,05/0,14 = 35,7%

En el segundo ejemplo: 0,05/1.886,45 = 0,0027%

Se puede ver claramente como la importancia del segundo error es considerablemente menor que la del primero.

En aquellos casos en los que no es posible medir con precisión el error absoluto y hay que acotarlo, para medir el error relativo realizamos la siguiente aproximación:

Error relativo = (error absoluto / valor real) < (límite del error / valor real truncado)

Veamos un ejemplo:

Simplificamos 4,3333… por 4,3

Error absoluto: |4,3333… – 4,3|= 0,0333…

Límite del error: 0,0333… < 0,04

Valor real: 4,3333…

Valor real truncado: 4,3

Error relativo = 0,3333… / 4,333… < 0,04 / 4,30 (= 0,93%)

Error relativo < 0,93%

El error relativo es menor que este cociente ya que hemos tomado un numerador (límite del error) que es mayor que el error real, y un denominador (valor real truncado) que es menor que el valor real (ya que hemos prescindido de ciertos decimales).