mateESO

    1  Trigonometría - Razones trigonométricas Dibujamos un triángulo rectángulo.     Hemos marcado el ángulo α.   Definimos las siguientes razones trigonométricas:     Podemos ver que la tangente de un ángulo es igual a su seno partido por su coseno:   tg α = sen α / cos α = (B / A) / (C / A) = B / C   Estos valores (seno, coseno y tangente) van a depender exclusivamente de la apertura del ángulo pero no de la longitud de los lados del triángulo. Es decir, un mismo ángulo, con independencia del tamaño del triángulo, va a tener siempre el mismo seno, coseno y tangente.   Vamos a demostrarlo: Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual son semejantes, ya que  tendrán otro ángulo de 90°, y el tercer ángulo también tendrá que ser igual ya que los tres ángulos han de sumar 180°. Al ser triángulos semejantes sus lados guardan la misma proporción. Luego si el primer triángulo su...

2 Propiedades de las razones trigonométricas 01.- El valor del seno y del coseno siempre estará comprendido entre 0 y 1 (nunca puede ser mayor que 1, ya que se trata del cociente entre un cateto y la hipotenusa, y el cateto nunca puede ser mayor que la hipotenusa).   2.- La suma del cuadrado del seno y del cuadrado del coseno de un ángulo es igual a 1.     Pero sabemos por el teorema de Pitágoras que:  Luego:     3.- El seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario (aquel que sumado al primero da 90°), mientras que el coseno de un ángulo es igual al seno de su complementario. Hemos señalado en este triángulo sus 3 ángulos: el ángulo γ es el ángulo recto (90°), luego los otros dos ángulos α y β son complementarios, ya que necesariamente tienen que sumar 90° (los 3 ángulos tienen que sumar 180°). a) Equivalencia entre el seno de α y el coseno de su complementario β:     Por lo tanto:  ...

  3  Razones trigonométricas de ángulos de 60° y 45° 1.- Ángulo de 60° Conociendo el seno y el coseno de un ángulo de 30° también conocemos las razones 1trigonométricas de su ángulo complementario (60°):   2.- Ángulo de 45° Dibujamos un cuadrado cuyos lados midan 1 cm. Trazamos una diagonal A.   Hemos señalado el ángulo α que mide 45° Calculamos la longitud de la diagonal  A : luego A =     Calculamos las razones trigonométricas:  

  Principio del formulario 4  Razones trigonométricas de ángulos de 30° Dibujamos un triángulo equilátero cuyos lados midan 1 cm. Sus ángulos son todos iguales y miden 60°.     Trazamos la altura del triángulo. Esta altura divide al triángulo en 2 triángulos rectángulos:     Nos fijamos en el triángulo rectángulo de la izquierda: su ángulo α mide 30°: a) Calculamos su seno:   b) Calculamos su coseno: Calculamos el valor de la altura:    Luego el coseno de α es:   c) Calculamos su tangente: (Multiplicamos numerador y denominador por   )  

  5 Razones trigonométricas de ángulos comprendidos entre 0° y 90° Dibujamos sobre los ejes cartesianos una circunferencia con centro en el punto de corte (0, 0) y con radio 1.   Sobre la circunferencia dibujamos un triángulo rectángulo con uno de sus vértices en el punto (0, 0), definiendo el ángulo α.   La hipotenusa (A) coincide con el radio de la circunferencia por lo que su valor es 1. La hipotenusa corta la circunferencia en el punto  . El valor del cateto  B  es precisamente   mientras que el valor del cateto  C  es  A medida que la amplitud del ángulo α va aumentando la longitud del cateto B se va incrementando mientras que la del cateto C se va reduciendo (el valor de la hipotenusa se mantiene constante; siempre es igual al radio).   Las posiciones extremas serían cuando   en cuyo caso cateto B = 0 y el cateto C = 1 (coincide con el radio).   Y cuando   alfa=90° en...

6  Razones trigonométricas de ángulos de más de 90° 1.- Ángulos mayores que 90° y menores que 180°     Hemos señalado el ángulo β. Este ángulo es suplementario del ángulo α que vimos anteriormente ( α + β = 180° ). Vamos a ver los valores de los lados del triángulo que forman: Calculamos sus razones trigonométricas: Por lo tanto cualquier ángulo mayor de 90° y menor de 180°: ·         Su seno es igual que el de su ángulo suplementario ·         Su coseno es igual que el de su ángulo suplementario pero con signo negativo ·         Su tangente es igual que el del su ángulo suplementario pero con signo negativo   2.-   Ángulos de 180°     Valores de los lados del triángulo: Hipotenusa A = 1 Cateto B = 0 Cateto C = -1 Calculamos sus razones trigonométricas:  

  7  Razones trigonométricas de ángulos de más de 180° y menor o igual que 270° 1.- Ángulos mayores que 180º y menores que 270º     Hemos señalado el ángulo β. Este ángulo es 180º mayor que el ángulo α que vimos anteriormente. ( β = α + 180º ). Vamos a ver los valores de los lados del triángulo que forman: Calculamos sus razones trigonométricas: Por lo tanto cualquier ángulo mayor de 180º y menor de 270º (en comparación con el ángulo α del que difiere en 180º): ·         Su seno es igual que el de su ángulo suplementario. ·         Su coseno es igual que el de su ángulo suplementario pero con signo negativo. ·         Su tangente es igual que el del su ángulo suplementario pero con signo negativo.   2.- Ángulos de 270º Valores de los lados del triángulo: Calculamos sus razones trigonométricas:  

  8  Razones trigonométricas de ángulos de más de 270° y menores o iguales que 360° 1.-   Ángulos mayores que 270° y menores que 360°     Hemos señalado el ángulo β. Este ángulo es el ángulo opuesto al ángulo α que vimos anteriormente (β = -α). Vamos a ver los valores de los lados del triángulo que forman: Calculamos sus razones trigonométricas: Por lo tanto cualquier ángulo mayor de 270° y menor de 360° (en comparación con el ángulo α del que difiere en 270°): ·         Su seno es igual que el del ángulo α pero con signo negativo ·         Su coseno es igual que el del ángulo α ·         Su tangente es igual que el del ángulo α pero con signo negativo   2.- Ángulos de 360°   Valores de los lados del triángulo: Calculamos sus razones trigonométricas: Vemos que sus razones trigonométricas coinciden con los de...