49 Combinaciones

 

49 Combinaciones

1.- Combinaciones

Se denominan combinaciones al número de grupos diferentes de “n” elementos que se pueden formar a partir de un grupo inicial de “m” elementos.

Una nota característica de las combinaciones, y que les diferencia de las variaciones, es que el orden no importa.

Por ejemplo, si a partir de las 5 vocales formamos grupos de 3 vocales, el grupo “A – E – I” es igual que el grupo “A – I – E” por lo que tan sólo computan 1 vez.

 

Dentro de las combinaciones distinguimos:

a) Combinaciones sin repetición

En las combinaciones sin repetición, como su propio nombre indica, ningún elemento se puede repetir.

Obligatoriamente n <= m.

Las combinaciones sin repetición se representan por 

 o también por 

.

Para calcular el número de grupos que se pueden formar se aplica la fórmula.

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Es decir, las combinaciones de m elementos tomados de n en n es igual a variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n dividido por permutaciones de n.

También se pueden calcular las combinaciones aplicando factoriales:

Veamos un ejemplo: con las 5 vocales cuantos grupos de 3 letras podemos formar teniendo en cuenta que ninguna letra se puede repetir y que el orden no importa.

Vamos a calcularlo nuevamente aplicando factoriales:

 

Veamos otros ejemplos:

De una clase de 20 alumnos se seleccionan 3 para que participen en un torneo inter-escolar. ¿Cuántos grupos diferentes podríamos formar?

m = 20 (número de alumnos de la clase)

n = 3 (tamaño del grupo)

 

En una final de futbol se seleccionan 5 jugadores de un equipo para el lanzamiento de penaltis. ¿Cuántos grupos se podrían formar?

m = 11 (número de jugadores del equipo)

n = 5 (número de jugadores que van a lanzar los penaltis; no importa el orden)

 

En una carrera de caballos con 12 participantes tienes que elegir los 2 caballos ganadores (no importa el orden de llegada). ¿Cuántos posibles resultados podrían darse?

m = 12 (número de caballos)

n = 2 (número de caballos ganadores)

 

 

b) Combinaciones con repetición

En las combinaciones con repetición un mismo elemento sí puede estar repetido (una o más veces) dentro del grupo.

En este caso n puede ser > m.

Por ejemplo: con las 5 vocales cuantos grupos de 10 letras puedo formar (la misma vocal podría estar repetida hasta 10 veces).

Un posible grupo sería: “A A A A A A A A A A”

En este ejemplo: m = 5 (nº de vocales) y n = 10 (tamaño del grupo)

Las combinaciones con repetición se representan por 

Para calcular el número de grupos que se pueden formar se aplica la fórmula

Veamos el ejemplo anterior: con las 5 vocales cuantos grupos de 10 letras podemos formar.

 

Veamos otros ejemplos:

Lanzamos un dado 7 veces. ¿Cuántos posibles resultados podemos obtener si el orden en el que aparezcan los números no importa?

m = 6 (números del dado)

n = 7 (número de lanzamientos)

 

Lanzamos una moneda al aire 10 veces. ¿Cuántos posibles resultados podemos obtener si el orden en el que aparezcan las caras y las cruces no importa?

m = 2 (posibles resultados: cara y cruz)

n = 10 (número de lanzamientos)

 

En una clase de 25 alumnos se sortean 3 balones de fútbol iguales; un mismo alumno puede llevarse los 3 premios. ¿Cuántos posibles resultados pueden darse si no importa el orden de consecución de los premios?

m = 25 (nº de alumnos que participan en el sorteo)

n = 3 (número de premios)

 

2.- Ejemplos de combinatoria

1.- ¿De cuantas formas se podrían ordenar los 12 meses del año?

Aplicamos permutaciones ya que:

Intervienen todos los elementos

No hay repeticiones

El orden importa

P₁₂ = 12! = 479.001.600

 

2.- En una pizzería puedes elegir 5 ingredientes para tu pizza (de un total de 15 ingredientes diferentes). ¿Cuántas posibilidades tienes?

Aplicamos combinaciones ya que:

El orden no importa (da igual poner primero el queso y luego el jamón que viceversa)

Si se pueden repetir los ingredientes aplicamos combinaciones con repetición:

Si no se pueden repetir los ingredientes aplicamos combinaciones sin repetición:

 

3.- Apuestas con tu amigo los 5 equipos que van a quedar primeros en la liga (donde participan 20 equipos) con el orden correspondiente.

Aplicamos variaciones sin repetición ya que:

No hay repeticiones (un mismo equipo no puede ocupar 2 puestos diferentes)

El orden importa

 

4.- Lanzamos los dados 7 veces; ¿Cuántos resultados diferentes podemos obtener?

Si el orden sí nos importa (consideramos que el resultados “1 – 1 – 1 – 1- 1- 1 -2” es distinto del “2 – 1 – 1 – 1- 1- 1 -1”) aplicamos variaciones con repetición (un mismo número puede salir hasta 7 veces).

m = 6 (el dado tiene 6 números)

n = 7 (hacemos 7 lanzamientos)

Si el orden no nos importa (consideramos que el resultados “1 – 1 – 1 – 1- 1- 1 -2” es igual que el “2 – 1 – 1 – 1- 1- 1 -1”) aplicamos combinaciones con repetición.