mateESO

13  Operaciones con vectores en el plano cartesiano 5.1.-   Suma y resta de vectores en el plano cartesiano Para sumar (restar) dos vectores se suman (restan) sus coordenadas. Ejemplo:     5.2.-   Multiplicar un vector por un escalar Tenemos el vector P (2,1) Este vector une el punto de coordenada (0,0) con el punto P 1  (2,1). Vamos a calcular el vector q=3p Se multiplica sus coordenadas por el escalar: El vector resultante tiene la misma dirección que el inicial ya que sus coordenadas son proporcionales.   5.3.-   Combinación lineal de vectores La combinación lineal de vectores es la suma (resta) de 2 o más vectores que pueden ir multiplicador por escalares. Supongamos: Definimos: Calculamos:  

14  Vectores como unidades de medida en el plano cartesiano 6.1.-   Distancia entre 2 puntos Vamos a calcular la distancia entre 2 puntos del plano cartesiano:  P 1  (2,2) y  P 2  (7,5). Si unimos los dos puntos con una recta y proyectamos el punto  P 2  hacia abajo y el punto  P 1  hacia la derecha hasta que se corten, observamos que hemos dibujado un triángulo rectángulo. La distancia que queremos medir coincide con la hipotenusa de este triángulo. La longitud de la hipotenusa la calculamos aplicando el teorema de Pitágoras. La longitud de C = 5 - 2 = 3 Luego:  Este valor coincide con el módulo de un vector p  que tiene como punto de origen  P 1   y como punto final  P 2.   6.2.- Punto intermedio de un vector Vamos a calcular las coordenadas (x,y) del punto intermedio  P 3  del vector  . Cursos gratis de Crear Páginas Web Curso Gratis de Los 10 pasos del m...

15  Recta 1.-   Definición de una recta Una recta  se puede definir : a)  Conociendo 2 puntos de la misma : En este gráfico conociendo los puntos P 1  y P 2  queda definida la recta "r",   b)  Conociendo un punto de la recta y su dirección : En este gráfico, conociendo el punto P 1  y la dirección de la recta (determinada por el vector  ) queda definida la recta "r". Una recta tiene infinitos vectores paralelos que se denominan vectores directores.  

16  Ecuación general de la recta Ecuación general de la recta Vamos a denominar: Quedando la ecuación anterior: Esta expresión se denomina  ecuación general de la recta . Veamos un  ejemplo : A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta del ejemplo del apartado0 anterior: La ecuación general de esta recta sería: Por lo que la ecuación general quedaría: Vamos a comprobar si los puntos de la recta que vimos en el ejemplo del apartado anterior cumplen esta ecuación:   Vemos por tanto que los tres puntos cumplen la ecuación de la recta. Esta ecuación nos permite calcula cualquier punto de la recta a partir de un valor cualquiera de  X  o de  Y .  

17  Ecuaciones paramétricas de la recta 2.- Ecuaciones paramétricas de la recta A partir de un punto de la recta y de su dirección podemos definir la ecuación de la recta. Conocemos un punto de la recta   y por otra parte sabemos que la recta es paralela al vector v  cuyas coordenadas son ( v1, v2)   . Vamos a seleccionar un nuevo punto cualquiera de la recta  p(x,y) .   Vemos que entre el punto inicial y este nuevo punto queda definido un vector   situado dentro de la recta, cuyas coordenadas serán  (x-x 1 , y-y 1 ) .   Como este vector es paralelo al vector V  debe cumplir que sus coordenadas sean proporcionales. Luego: Este sistema de ecuaciones se denomina  ecuaciones paramétricas de la recta  y el valor  k  se denomina parámetro de la ecuación;  k  puede ser cualquier valor (si tomamos un valor pequeño el punto  p 2  estará muy cerca del punto inicial...

18  Casos particulares de recta Recta Horizontal Partiendo de la ecuación general de la recta: La ecuación de esta recta es: Y=2 Esta ecuación quiere decir que tome  X  el valor que sea  Y  siempre valdrá 2.     Recta Vertical Partiendo de la ecuación general de la recta: Quedando la ecuación anterior: La ecuación de esta recta es: X = 4 Esta ecuación quiere decir que tome Y el valor que sea  X  siempre valdrá 4.  

19  Pendiente de una recta 1.-   Cálculo de la pendiente de una recta Dada la recta "r" que pasa por los puntos  P 1  y  P 2 Proyectando verticalmente y horizontalmente estos puntos vemos que queda dibujado un triángulo rectángulo con los catetos B y C, siendo la longitud de estos catetos:   La pendiente "T" de la recta "R" se calcula como el cociente B/C, o lo que es lo mismo Veamos un  ejemplo : Dada la recta del siguiente gráfico vamos a calcular su pendiente:     2.- Pendiente y tangente Vimos en trigonometría que la tangente de un ángulo α es igual al cateto opuesto al ángulo dividido por el cateto contiguo al ángulo. Vemos por tanto que la tg α coincide con la definición de la pendiente de la recta R. Este ángulo  α  es exactamente igual que el ángulo que forma la recta  R  al cortar el eje de abscisa. Por lo que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo...